• Лекции По Математике 2 Курс Спо
• Лекции По Математике Спо
• Лекции По Математике 1 Курс Спо
• Курс Лекций По Математике Спо

Пояснительная записка Математическое образование играет важную роль как в практической, так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная ­ с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры. Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей, восприятия и интерпретации разнообразной социальной, экономической, политической информации.

1. Учреждение среднего профессионального образования Свердловской области. Курс математики, который предстоит освоить студенту – заочнику. В помощь заочникам организуются чтение лекций, практические занятия.
2. / Конспект лекций по уголовному праву 1 билеты ответы экзамену бжд; вопросы ответы.

Человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить в справочниках нужные формулы и применять их, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий. Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным, современным человеком. Сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений необходимо в повседневной жизни, для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Математика является одним из опорных предметов основной школы, она обеспечивает изучение других дисциплин. В после школьной жизни реальной необходимостью в наши дни является непрерывное образование, что требует полноценной базовой математической подготовки. И наконец, все больше специальностей, где необходим высокий уровень математического образования (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, и др). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится значимым предметом.

Лекции по математике для СПО — в разделе Лекции, по направлениям Математика, Методические и учебные материалы. Конспект лекций написан в соответствии с программой курса Международного права, по главная; контакты; нашёл ошибку; прислать материал; добавить избранное; свойства типы.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности применяются индукция, дедукция, обобщение и конкретизация, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Вырабатывается умение формулировать, обосновывать, доказывать суждения, тем самым развивается логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления и воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Обучение математике, дает возможность развивать у обучающихся точную, 3.

Экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (символические, графические) средства. Математическое образование вносит вклад в формирование культуры человека, способствует эстетическому воспитанию, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. 10 класс (49 часов) Лекция № 1­7 (14 ч.) Тема. Основы тригонометрии Числовая окружность. Синус, косинус, тангенс, котангенс призвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Периодические процессы и их описание с помощью тригонометрии. Литература: 1.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2.Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы.

(базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. 3.Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4.

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с.

ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений 2. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Тема.

Функции Лекция № 8­10 (6 ч.) Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и 5. Убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация.

Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Понятие обратной функции.

График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и Графики дробно­линейных функций.

Горизонтальные асимптоты графиков. Тригонометрические функции их свойства и графики; периодичность, основной период. Преобразование графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Литература: 1.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2.

Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб.

И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 11­16 (12 ч.) Тема.

Начала математического анализа Понятие предела последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Предел функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного.

Производные основных 6. Элементарных функций. Дифференцирование сложной функции. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально­экономических задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Вторая производная и ее физический смысл. Литература: 1. Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер.

­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд.

­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д.

Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.

Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 17 (3 ч.) Тема. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Табличное и графическое представление данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.

Формула числа перестановок, сочетаний, размещений. Биноминальные коэффициенты. Решение комбинаторных задач. Литература: 1.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 7.

Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д.

Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4.

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений.

Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 18­24 (14 ч.) Тема. Геометрия Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Вершины, ребра, грани многогранника.

Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность.

Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем 8. Сечения куба, призмы, пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, и конус. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере. Объемы тел и площади их поверхностей.

Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Модуль вектора.

Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами.

Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Литература: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы.

Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2.

Атанасян Л.С. Геометрия 10­11: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый и профил.уровни/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.­16­е изд.­ М.: Просвещение, 2007.­256с. ISBN 978­5­09­016419­1.

Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И.

Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с.

ISBN 5­7695­1019­6. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 10­11 классов общеобразовательных учреждений/ А.В. –М.: Просвещение, 2007. ISBN 978­5­09­ 017859­4 Электронные пособия и интернет­ресурсы: 9. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: 11 класс (48 часов) Лекция № 25­29 (10 ч.) Тема.

Алгебра Натуральные числа и десятичные дроби. Корни и степени. Обобщение понятия о показатели степени. Преобразование выражений. Литература: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер.

­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д.

Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 30­34 (10 ч.) Тема. Функции Функции, содержащие знак корня n­ой степени, ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Примеры функциональных зависимостей 10. В реальных процессах и явлениях: равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных и квадратичных функций; процессы экспоненциального роста. Геометрическая прогрессия как пример дескретного процесса быстрого роста. Легенда о создании шахмат, сложные проценты, примеры быстрого роста в живой и неживой природе.

Литература: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.

– 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2.

Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012.

Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с.

ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с.

ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Тема. Начала математического анализа. Лекция № 35­36 (4 ч.) Производная степенной, показательной и логарифмической функций.

Неопределенный интеграл. Правила отыскания первообразных. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона­ Лейбница. Вычисление площади плоских фигур. Литература: 1. Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы.

Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 11. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с.

ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д.

Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с.

ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.

Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 37­41 (10 ч.) Тема. Уравнения и неравенства. Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Основные приемы решения уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Интерпритация результата, учет реальных ограничений. Рождение буквенной символики.

История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений степени, большей четырех. Литература: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы.

Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И.

Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с.

ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д. Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1.

Лекции По Математике 2 Курс Спо

Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 42­43 (4 ч.) Тема. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместимых событий, вероятность противоположного события. Вероятность и геометрия.

Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Статистические методы обработки информации. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Решение практических задач с применением вероятностных методов. Литература: 1.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер.

­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый уровень) 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. Валуце И.И.Дилигул Т.Д.

Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб.

И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с. ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Электронные пособия и интернет­ресурсы: 13. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений.

Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: Лекция № 44­48 (10 ч.) Тема. Прямая и наклонная призма. Правильная призма.

Треугольная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрия в кубе, в параллелепипеде. Сечение куба, призмы, пирамиды.

Представление о правильных многоранниках. Тела и поверхности вращения. Объемы тел и площади их поверхностей. Литература: 1.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

10­11 классы. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. – 11­е изд., стер. ­М.: Мнемозина, 2010.­399с. ISBN 978­5­346­01371­6 2. Атанасян Л.С. Геометрия 10­11: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый и профил.уровни/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.­16­е изд.­ М.: Просвещение, 2007.­256с.

ISBN 978­5­09­016419­1. Валуце И.И.Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие./ И.И. Дилигул.­2­е изд., перераб. И доп.­ М.: Наука,1990.­ 576с.

ISBN 5­02­013930­0 4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений сред.проф.образования/ И.Д.

Пехлецкий –2­е изд., стереотип. ­М.: Издательский центр «Академия», 2002.­304с. ISBN 5­7695­1019­6. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 10­11 классов общеобразовательных учреждений/ А.В.

–М.: Просвещение, 2007. ISBN 978­5­09­ 017859­4 Электронные пособия и интернет­ресурсы: 1. Математика Электронный ресурс/ Режим доступа: учебный материал по разделам, тренажеры по решению алгебраических уравнений. Образовательный математический сайт Электронный ресурс/ Режим доступа: 14.

Методические рекомендации для преподавателей Преподавателю при организации курса следует учитывать специфику данной дисциплины. «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».

Пояснительная записка. Краткий курс лекций и методические рекомендации по выполнению контрольной работы по естественно - научной дисциплине « Математика» предназначены для курсантов 1-го курса специальностей: 25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей; 25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов; 25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов. Содержание раздела курса математики « Теория пределов» определяется федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО). Пособие объединяет лекционный материал и примеры решения типовых задач, и может быть использовано для изучения и закрепления учебного материала. Теория пределов.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел.

Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка.

Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой.

В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. Научиться решать основные типы пределов. Итак, что же такое предел?

Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела lim. 2) Записи под значком предела, в данном случае x → 1.

Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно x, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность. Весь материал - в документе. «Омский летно-технический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского» филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)» (ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И)) КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине «Математика» Теория пределов Омск - 2015 Рассмотрено на заседании ЦМК ЕНД от «»20г. Протокол № Разработал: Пищагина Е.С., преподаватель математики Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика», тема «Теория пределов»/ Е.С.

Пищагина - ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И), 2015. Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика» предназначены для подготовки специалистов со средним профессиональном образованием. Включает теоретические сведения, примеры решения заданий, примерные варианты контрольных заданий. Типовые задачи даются с подробным решением.

Рекомендуется я самостоятельной проработки. Основное назначение – помочь курсанту самостоятельно, без помощи педагога закрепить знания по теме «Теория пределов» и подготовиться к контрольной работе. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Краткий курс лекций и методические рекомендации по выполнению контрольной работы по естественно - научной дисциплине «Математика» предназначены для курсантов 1-го курса специальностей: 25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей; 25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов; 25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов.

Содержание раздела курса математики «Теория пределов» определяется федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО). Пособие объединяет лекционный материал и примеры решения типовых задач, и может быть использовано для изучения и закрепления учебного материала. Теория пределов. Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой.

В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. Научиться решать основные типы пределов. Итак, что же такое предел? Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела.

2) Записи под значком предела, в данном случае. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).

3) Функции под знаком предела, в данном случае. Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице». Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала, затем,.

То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала, потом, потом, затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией?, Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности: Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции: Вывод: при функция неограниченно возрастает: И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:, Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если, попробуйте построить последовательность,. Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:, то все равно, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом. Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? 1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, и т.д. Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл.

Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует! На практике, к сожалению, подарков немного.

А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Пример: Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху?

А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель на Вот оно как, ответ, а вовсе не бесконечность. Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится.

Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш. Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель. Полное оформление задания может выглядеть так: Разделим числитель и знаменатель на Пример 3 Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как ) Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель. Чистовой вариант решения может выглядеть так: Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!».

Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с материалом о бесконечно малых функциях. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность. Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, то ознакомьтесь с методическим материалом « Горячие формулы школьного курса математики».

Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него:. В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.!

Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: Таким образом: Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя. Очевидно, что можно сократить на: Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают.

В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: Разложим числитель на множители. Пример 5 Вычислить предел Сначала «чистовой» вариант решения Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: Знаменатель:, Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто.

Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки)., то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Следующий тип пределов похож на предыдущий тип.

Лекции По Математике Спо

Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида, которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? У нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение: Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. На: То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием. Теперь самое время применить вверху формулу: Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число.

Лекции По Математике 1 Курс Спо

Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни: Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Курс Лекций По Математике Спо

Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно. Окончательное решение примера может выглядеть так: Разложим числитель на множители: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение 26.